Demostración 2

El producto de un R no nulo y un I, es irracional

Conociendo las propiedades básicas de cada grupo, podemos demostrar esto usando el método de contradicción. Al notar de que ¬p está mal, deducimos que p es correcto.

Conceptos básicos de lógica

Algunas declaraciones son compuestas, es decir, compuesto por subinstrucciones y varios conectores lógicos.

La propiedad fundamental de una declaración compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de su subinstrucciones junto con la forma en que se conectan para formar la sentencia compuesta. Empezamos con un estudio de algunos de estos conectores.

Conjunción
Sólo cuando las declaraciones p,q son verdaderos, podemos decir que la expresión es verdadera.
p ∧ q
v|v|v
v|f|f
f|f|v
f|f|f

Disyunción
Es suficiente y necesario que una de las declaraciones sea verdadera para que la expresión sea verdadero, por lo tanto la expresión es falsa únicamente cuando p,q son falsas.
p ∨ q
v|v|v
v|v|f
f|v|v
f|f|f

Exclusiva
Es como la disyunción, solo que la expresión es verdadera cuando sólo una de las declaraciones es verdad, por lo tanto es falso cuando las dos declaraciones son falsas o verdaderas al mismo tiempo.
p ⊻ q
v|f|v
v|v|f
f|v|v
f|f|f

Negación
Es lo opuesto , si es verdadero con la negación será falso. Tambien aparece con la figura ∼.
¬ p
f|v
f|v
v|f
v|f

Implicación o condicional
La expresión es falsa solo cuando la primera declaración es verdadera y la segunda es falsa.
p → q
v|v|v
v|f|f
f|v|v
f|v|f

Equivalencia o bicondicional
La expresión es verdadera, cuando las dos declaraciones son verdaderas o falsas al mismo tiempo. Esta vendría a ser la negación de ⊻.
p ↔ q
v|v|v
v|f|f
f|f|v
f|v|f

Equivalencias:
| ¬(p∧q) = (¬p)∨(¬q)
| ¬(p∨q) = (¬p)∧(¬q)

| ¬(p→q) = p∧(¬q)
| p→q = ¬p∨q

| p↔q = (p→q)∧(q→p)
| ¬(p↔q) = p⊻q

Algunas propiedades:
º Asociativo
| (p∧q)∧r = p∧(q∧r)
| (p∨q)∨r = p∨(q∨r)

º Distributivo
| p∧(q∨r) = (p∧q)∨(p∧r)
| p∨(q∧r) = (p∨q)∧(p∨r)

º Leyes de morgan
| ¬(p∧q) = ¬p∨¬q
| ¬(p∨q) = ¬p∧¬q

Axiomas de Orden y ley de tricotomía

Utilizamos un subconjunto de R que llamaremos P, a sus elementos los llamaremos positivos.
Sea P⊂R (el conjunto de los positivos) tal que cumple los siguientes axiomas:

|Si a y b están en P, entonces a+b y ab también están en P.

|Si 'a' está en R y 'a' es diferente de 0, entonces se tiene una y sólo una de las siguientes posibilidades: a está en P ó -a está en P.

|0 no está en P.

-Dados a,b ∈ R, escribiremos a

Ley de Tricotomía
Supongamos que a,b ∈ R. Entonces se tiene una y sólo una de las siguientes tres posibilidades:
1.a
2.b
3.a=b

Axiomas de Cuerpo

Axioma:
En lógica y matemática, un axioma o postulado es una fórmula bien formada de un lenguaje formal que se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.

Vamos a partir de un conjunto cualquiera R con dos operaciones que cumplen ciertos axiomas y a partir de estos axiomas vamos a probar algunas de las propiedades que conocemos de lo números reales.

|Para cada x,y que pertenecen a R, se tiene que x+y, x·y son los elementos de R. Consideremos éste como un axioma 0, el cual garantiza que las operaciones estén bien definidas en R.

|Para todo x,y que pertenecen a R, se tiene: x+y=y+x y x·y=y·x (+ y · son conmutativas)

|Para todo x,y,z en R,(x+y)+z=x+(y+z) y x·(y·z)=(x·y)·z (+ y · son asociativas)

|Para todo x,y,z en R, x·(y+z)=x·y+x·z (· es distributiva respecto a +)

|Existen elementos 0 y 1 en R, 0≠1, tales que para todo x en R se tiene: x+0=0+x=x y x·1=1·x=x
0 y 1 son llamados identidades, móduclos o elementos neutros de la suma y el producto respectivamente (+ y · son modulativas)

|Para cada x en R existe y en R, tal que x+y=0, donde 0 es el mismo de la propiedad anterior.

|Para cada x en R, con x≠0, existe z en R tal que x·z=1

→ Cuando un conjunto R con dos operaciones + y · satisface los siete axiomas anteriores, se dice que (R,+,·) es un cuerpo y estos axiomas se llaman axiomas de cuerpo. Según estos axiomas, observamos que ni N, ni Z, con las operaciones usuales de suma y producto, son cuerpos.
Sin embargo, tanto Q como R, con las operaciones usuales de suma y producto, satisfacen todos estos axiomas.