Axiomas de Cuerpo

Axioma:
En lógica y matemática, un axioma o postulado es una fórmula bien formada de un lenguaje formal que se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.

Vamos a partir de un conjunto cualquiera R con dos operaciones que cumplen ciertos axiomas y a partir de estos axiomas vamos a probar algunas de las propiedades que conocemos de lo números reales.

|Para cada x,y que pertenecen a R, se tiene que x+y, x·y son los elementos de R. Consideremos éste como un axioma 0, el cual garantiza que las operaciones estén bien definidas en R.

|Para todo x,y que pertenecen a R, se tiene: x+y=y+x y x·y=y·x (+ y · son conmutativas)

|Para todo x,y,z en R,(x+y)+z=x+(y+z) y x·(y·z)=(x·y)·z (+ y · son asociativas)

|Para todo x,y,z en R, x·(y+z)=x·y+x·z (· es distributiva respecto a +)

|Existen elementos 0 y 1 en R, 0≠1, tales que para todo x en R se tiene: x+0=0+x=x y x·1=1·x=x
0 y 1 son llamados identidades, móduclos o elementos neutros de la suma y el producto respectivamente (+ y · son modulativas)

|Para cada x en R existe y en R, tal que x+y=0, donde 0 es el mismo de la propiedad anterior.

|Para cada x en R, con x≠0, existe z en R tal que x·z=1

→ Cuando un conjunto R con dos operaciones + y · satisface los siete axiomas anteriores, se dice que (R,+,·) es un cuerpo y estos axiomas se llaman axiomas de cuerpo. Según estos axiomas, observamos que ni N, ni Z, con las operaciones usuales de suma y producto, son cuerpos.
Sin embargo, tanto Q como R, con las operaciones usuales de suma y producto, satisfacen todos estos axiomas.